Comprendre (Enfin!) Cosinus et Sinus

Des sueurs froides à l’évocation de Cosinus et Sinus ?

Vous n’êtes pas seul(e).

Pour beaucoup, cosinus et sinus rappellent des heures d’incompréhension en cours de maths.

Et voilà que maintenant, votre enfant vous tend son cahier en espérant un peu d’aide.

Respirez.

Ensemble, nous allons non seulement démystifier ces termes, mais aussi découvrir comment cosinus et sinus jouent un rôle dans la pente d’un toboggan ou l’inclinaison d’un toit.

Curieux(se) ?

Allons-y !

Le Monde des Triangles

Le triangle rectangle est un triangle spécial avec un angle de 90 degrés, à l’image de l’angle formé par un coin de page.

Le plus célèbre des triangles est le triangle rectangle  3-4-5 découvert par les égyptiens de l’antiquité.

Mais d’autres tels que le 5-12-13 ou le 7-24-25 sont tout aussi fascinants (voir les images ci-dessous).

Pourquoi ?

 

Par ce qu’ils ont des côtés avec des nombres entiers (c’est-à-dire des chiffres ronds et pas des chiffres à virgule comme 3.71 ou 5.63 ou 10.527 etc.).  Ce qui les rend faciles à retenir et utiliser pour résoudre des problèmes trigonométriques et plus généralement géométriques.

On les nomme d’ailleurs les triangles remarquables.

Rencontrons Cosinus et Sinus :

La notion d’angle et un livre qui s’ouvre

Visualisez un livre ouvert sur une table. En l’ouvrant plus ou moins, l’angle formé par les deux couvertures change.

Voici 3 ouvertures possibles de ce livre de : 30°, 45°et 60°.

Sinus et cosinus ou l’arbre qui cache la forêt

Imaginez que vous êtes à 30 mètres d’un grand arbre dans un champ. Et vous voulez maintenant connaître la hauteur de l’arbre…. sans avoir à y monter.

Comment faire ?

C’est là que cosinus et sinus entrent en scène.

Sinus, Cosinus et Angles

Nos amis cosinus et sinus sont en réalité des fonctions trigonométriques qui viennent de la géométrie du cercle.

Cosinus et Sinus sont deux outils puissants qui existent depuis l’Antiquité Égyptienne, vers 1650 avant J.C (Papyrus Rhind – exercices 56 à 59).

D’ailleurs,  c’est quoi la trigonométrie ?

Le mot “trigonométrie” vient du grec ancien, où “trigônos” signifie “triangle” et “metron” signifie “mesure”.

En d’autres termes, la trigonométrie est la science de la mesure des triangles.

La trigonométrie nous aide à comprendre les relations entre les angles et les côtés des triangles.

Et c’est essentiel pour résoudre des problèmes concrets liés aux formes et aux mouvements dans le monde réel (nous le verrons dans des exemples concrets un peu plus bas).

Revenons aux cosinus et sinus

1- Le cercle trigonométrique unitaire

Imaginez un cercle unitaire (un cercle de Rayon 1) avec un point A sur le cercle aux coordonnées suivantes:

• Le Rayon du cercle vaut 1
• Par rapport à l’axe des abscisses qui est l’axe horizontal x, A a pour coordonnée cosinus ϴ.
• Par rapport à l’axe des ordonnées qui est l’axe vertical y, A a pour coordonnée sinus ϴ.

Les valeurs de cosinus et sinus représentent les coordonnées x et y  du point A sur le cercle.

En somme:

2- Le cercle trigonométrique réél

On quitte l’échelle de cercle trigonométrique de 1 pour un cercle de Rayon R supérieur à 1, comme on en trouve dans la vie réelle.

Dans ce cas, en ce qui concerne la position du point B sur le cercle:

Vous allez voir, cela va vous faciliter les calculs !

3- Ok mais concrètement ?

Le cosinus et le sinus sont deux outils puissants qui mettent en relation les triangles et leurs angles pour faire des calculs très rapides.

Pour simplifier :

• Le sinus c’est le déplacement vertical
• Le cosinus c’est le déplacement horizontal

Autrement si vous êtes à 30 mètres d’un grand arbre dans un champ,

• le sinus c’est de combien je monte à un arbre
• le cosinus à quelle distance je suis de cet arbre

Le couteau suisse de la géométrie: la table trigonométrique

Cette table trigonométrique va nous aider à faire des calculs rapides, efficaces et précis pour résoudre des problèmes de la vie réelle !

Grâce à cette table, 90% des problèmes trigonométriques peuvent être résolus facilement !

Ça vaut sans doute le coup de l’avoir toujours sous le coude. Ou mieux de la connaître par coeur !

 

Cosinus et sinus en pratique pour comprendre

Comment fait-on exactement ?

La cime de l’arbre

Reprenons le cas suivant à résoudre :

Imaginez que vous êtes à 30 mètres d’un grand arbre dans un champ. Et vous voulez maintenant connaître la hauteur de l’arbre…. sans avoir à y grimper.

Quelle est la hauteur de l’arbre ?

Tout d’abord, inscrivons tout ce petit monde dans un cercle trigonométrique réel afin d’y voir plus clair.

1. la valeur cherchée est la Hauteur H donc c’est notre point B sur le cercle
2. je me mets au centre
3. je suis à une Distance D de 30 mètres du pied de l’arbre

Les coordonnées du point B de la “Cime de l’arbre” sur le cercle sont:

• la coordonnée sur l’axe des y ou ordonnée: la Hauteur H de l’arbre.
• la coordonnée sur l’axe des x ou abscisse: la Distance D entre moi et le pied de l’arbre.

D’après ce qu’on a vu précédemment pour le cercle réel, les coordonnées du point B de la “Cime de l’arbre” sur le cercle sont celles-ci:

• la Hauteur H de l’arbre égale à Rayon x sinus
• la Distance D entre moi et le pied de l’arbre égalé à Rayon x cosinus.

La table trigonométrique nous dit que si nous connaissons alors nous en déduirons son sin() et son cos().

Comment identifié ?

Grâce à un “clinomètre“. C’est un instrument qui mesure l’angle entre une ligne imaginaire qui part de ton œil jusqu’au sommet de l’arbre.

Je mesure donc cet angle avec le clinomètre qui me donne la valeur de … 30° !

Donc d’après la table, le cos(30°) est √3/2 soit environ 0.87 et le sinus(30°) est 0.5.

• Distance D = Rayon x cosinus(30°) (1)
• Hauteur H = Rayon x sinus(30°)     (2)

Or on ne connait pas la valeur de Rayon R. Mais on sait en s’aidant de (1) que Rayon = Distance D/cosinus(30°) soit

• Rayon R = 30/0.87 = 34.5 m
• Hauteur H = 34.5 x 0.5
• Hauteur H = 17.25 m

La Hauteur H de l’arbre est donc de 17.25 m.

Le toboggan parfait

Voici ce que vous pouvez dire à votre enfant : Imagine que tu es un architecte et que tu dois fabriquer un toboggan. Tu vois bien que plus la pente du toboggan est inclinée, plus tu vas glisser vite.

Tu veux que le toboggan soit incliné juste comme il faut : ni trop plat, ni trop incliné.

Avec cosinus et sinus, tu peux le faire !

Prenons un exemple de données:

• Si la hauteur H du toboggan est de 1 mètre, et
• que la Longueur L de la rampe est de 2 mètres

D’abord, on inscrit notre toboggan dans un cercle où:

• le haut de la rampe du toboggan d’où on va s’élancer est au point B
  • les coordonnées du point B
    • sur l’axe des x est D (distance au sol), et
    • sur l’axe des y est H (hauteur du toboggan)
• le rayon du cercle est la rampe de longueur L

D’après ce qu’on a vu précédemment pour le cercle réel, les coordonnées du point B du “haut du toboggan” sur le cercle sont celles-ci:

• la Hauteur H du toboggan ça vaut rayon x sinus, soit L x sinus(ϴ).
• la Distance D au sol est égale à rayon x cosinus, soit  L x cosinus(ϴ).

En langage mathématique, on a :

• H = L x sinus(ϴ) avec H=1 m et L = 2 m
• 1 = 2 x sinus(ϴ) donc sinus(ϴ)=1/2 ou 0.5

D’après la table trigonométrique, si sinus égale à 1/2, alors l’angle vaut 30°.

On a donc la réponse ! Si on a une rampe de toboggan de 2 mètres et une hauteur de toboggan de 1 mètre, l’angle pour glisser sera de 30 degrés.

Et comment faisait-on avant ?

Sans les outils cosinus et sinus, les mathématiciens ont usé d’astuces, d’observation et d’imagination pour calculer la hauteur d’un arbre … sans avoir a y grimper.

 

“SOH CAH TOA!” ou la Suite de l’Aventure Cosinus et Sinus pour Vos Enfants

Et voilà! nous en arrivons à la fin de cette aventure de découverte de Cosinus et Sinus

Vos enfants ont désormais le super-pouvoir de les repérer partout dans la vie quotidienne. Ils seront comme des explorateurs munis d’une boussole magique pour résoudre des énigmes mathématiques, que ce soit à l’école ou dans leur vie de tous les jours.

Alors, la prochaine fois que vos enfants croiseront un arc-en-ciel, un toit incliné, ou même un toboggan, encouragez-les à penser à Cosinus et Sinus, et rappelez-leur simplement :

‘Si je monte, c’est le sinus. Si j’avance, c’est le cosinus.’

Vos enfants sont maintenant (presque) prêts à utiliser ces super-pouvoirs à l’école et dans leur vie.

Mais ne partez pas trop loin ! Ce n’est que  le début de l’aventure.

Dans notre prochain épisode, nous explorerons les mystères de “soh cah toa”, un outil magique qui leur permettra de maîtriser encore mieux ces concepts à l’école et dans la vie.

Restez à l’écoute !

Glossaire

• Triangle Rectangle: Un triangle avec un angle droit.
• Triangle remarquable: Un triangle qui possède des propriétés particulières en raison de ses angles et de ses côtés.
• Hypoténuse: Le côté le plus long d’un triangle rectangle.
• Angle: Deux lignes se rejoignant en un point.
• Cosinus et Sinus: Formules magiques pour mesurer les relations dans un triangle.

Sources